AP08856926 — Определение аэродинамических характеристик летательных аппаратов с помощью нестационарной нелинейной одномерной системы моментных уравнений

Целью проекта является получение системы моментных уравнений, учитывающие скорость движения и температуру поверхности летательного аппарата и макроскопических граничных условий для системы моментных уравнений, аппроксимирующих микроскопическое граничное условие Максвелла для функции распределения частиц, а также изучение вопросов разрешимости начально-краевых задач для нестационарной нелинейной одномерной системы моментных уравнений при естественных макроскопических условиях зеркального и диффузионного отражения частиц от границы, и решение начально-краевой задачи для нелинейной одномерной нестационарной системы моментных уравнений примакроскопическихусловиях на подвижной границе численным методом.

Актуальность: Моментные уравнения являются промежуточными между Больцмановским (кинетическая теория) и гидродинамическими уровнями описания состояния разряженного газа и образует мало изученный класс нелинейных уравнений в частных производных. Существование такого класса уравнений замечено Грэдом  еще в 1949 году. Им получена моментная система путем разложения функции распределения частиц по полиномам Эрмита около локального максвелловского распределения. Но моментная система Грэда не была использована на практике и не изучена из-за сложности дифференциальной части. Вопросы аппроксимации однородного граничного условия для функции распределения частиц в случае полного нелинейного уравнения Больцмана изучены, доказана корректность начально-краевых задач для нестационарной нелинейной трехмерной системы моментных уравнений Больцмана в произвольном приближении. Предполагается, что движение газа происходит в ограниченной области с неподвижной границей, что соответствует решению уравнения Больцмана с параметром, зависящим от постоянной граничной температуры. Проблема аппроксимации максвелловского микроскопического граничного условия на неподвижной границе в случае нестационарного одномерного нелинейного уравнения Больцмана. Моментные уравнения, учитывающие скорость движения и температуру поверхности летательных аппаратов, представляют собой нелинейную гиперболическую систему уравнений в частных производных, причем дифференциальная часть зависит от таких неизвестных параметров, какскорость движения и температура поверхности летательных аппаратов. Кроме того, моменты интеграла столкновений являются квадратичными формами, содержащими произведения моментов функции распределения частиц. Согласно микроскопическому граничному условию Максвелла часть молекул отражается от границы зеркально, а часть – диффузно с максвелловским распределением, причем граница подвижная. Вопросы аппроксимации Максвелловского микроскопического граничного условия на подвижной границе в случае нестационарного одномерного нелинейного уравнения Больцмана, зависящего от скорости движения летательного аппарата, до сих пор не решена. Корректностьначально-краевых задач для нестационарной нелинейной одномерной системы моментных уравнений, зависящей от скорости движения и температуры поверхностилетательных аппаратов, при макроскопических граничных условиях на подвижной границе изучается впервые.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, Профессор, Сакабеков Аужан

Полученные результаты:  В рамках НИР была сформулирована начально-краевая задача для одномерного нестационарного нелинейного уравнения Больцмана с учётом скорости движения летательного аппарата и температурных граничных условий Максвелла. Выведены нелинейные системы моментных уравнений, включающие параметры движения и температуры поверхности, а также их производные. Проведена аппроксимация микроскопических граничных условий Максвелла для подвижной границы в зависимости от порядка приближения. Доказано существование и единственность решения задачи для системы в третьем приближении. Разработаны численные методы, алгоритмы и программное обеспечение для решения прямых и обратных задач, включая определение аэродинамических характеристик летательного аппарата. Выполнены расчёты параметров полёта и характеристик атмосферы, таких как плотность и температура газа. Полученные результаты расширяют теорию динамики разреженного газа и могут применяться в аэрокосмической технике и задачах дистанционного зондирования.

Список публикаций с ссылками на них 

1. Imansakipova B., Aitkazinova Sh., Sakabekov A., Shakiyeva G., Imansakipova M., Taukebayev O. Improving the accuracy of predicting the hazard of the earth’s surface failure formation during underground mining of mineral deposits // Mining of Mineral Deposits. – 2021. – Vol. 15, No. 4. – P. 15–24. – URL: https://www.scopus.com/sourceid/21100914192; http://mining.in.ua/2021vol15_4_3.html
2. Сакабеков А., Аужани Е. Применение уравнения Больцмана для определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов // Вестник КазНИТУ. – 2021. – Т. 143, № 1. – С. 57–64. – URL: https://vestnik.satbayev.university/index.php/journal/article/view/511
3. Sakabekov A., Auzhani Y., Madalieva S. Application of moment equations for calculating the aerodynamic characteristics of aircraft in the transition regime // Proceedings of the 3rd International Applied Mathematics, Modeling and Simulation Conference (AMMS 2021). – Paris, France, 2021.
4. Sakabekov A., Auzhani Y., Dauletov A. Investigation of the aerodynamic characteristics of aircraft in a rarefied gas flow by the moment method // Pre-RGD 32 Online Workshop on Recent Hot Topics in Rarefied Gas Dynamics. – Seoul, South Korea, 2021. – URL: http://www.rgd32.org/pdfviewer/web/viewer.asp?session=S-10&file=/DATA/workshop/S-10.pdf
5. Sakabekov A., Auzhani Y., Yergazina R. About macroscopic boundary conditions for three-dimensional nonlinear nonstationary Boltzmann's moment system of equations // Proceedings of the 10th International Conference on Pure and Applied Mathematics (ICPAM 2021). – Athens, Greece, 2021.
6. Сакабеков А., Даулетов А. Смешанная задача для нестационарной нелинейной одномерной системы моментных уравнений в третьем приближении при макроскопических граничных условиях Максвелла-Аужана // Труды международной научной конференции «Современные проблемы физико-математических наук и междисциплинарные исследования». – Атырау, 2021. – 5 с. – URL: https://pps.kaznu.kz/ru/Main/FileShow2/190426/83/3/1129/2021//
7. Mekebai N., Yergazina R., Sakabekov A. Boltzmann’s six-moment one-dimensional nonlinear system of equations with the Maxwell-Auzhan boundary conditions // Материалы международной научно-практической конференции «Modern problems of natural sciences and interdisciplinary research». – Атырау, 2021. – P. 547–550. – URL: https://pps.kaznu.kz/ru/Main/FileShow2/186897/72/3/713/2021//
8. Sakabekov A., Madalieva S., Yergazina R. Investigation of aerodynamic characteristics of aircrafts in a rarefied gas flow using the moment method // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. – 2022. – Vol. 2022. – Article ID 6943602. – URL: https://www.scopus.com/sourceid/130103#tabs=1; https://www.hindawi.com/journals/ijmms/2022/6943602/; https://doi.org/10.1155/2022/6943602
9. Sakabekov A., Auzhani Y. The solvability of mixed value problem for first and second approximations of one-dimensional nonlinear system of moment equations with macroscopic boundary conditions // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. – 2022. – Vol. 29. – P. 124–148. – URL: https://www.scopus.com/sourceid/28549#tabs=1; https://link.springer.com/article/10.1007/s44198-021-00024-7
10. Мадалиева С.Н., Ергазина Р.А., Акимжанова Ш.А. Применение моментных уравнений для расчета аэродинамических характеристик летательных аппаратов в переходном режиме // Сатпаевские чтения. – Алматы, 2022. – URL: https://official.satbayev.university/ru/materialy-satpaevskikh-chteniy
11. Sakabekov A., Yergazina R., Auzhani Y. Application of the moment system of equations in the second approximation to determine the speed and surface temperature of the aircraft // Proceedings of the International Symposium “Rarefied Gas Dynamics-32”. – Seoul, 2022. – URL: http://rgd32.org/program.asp
12. Sakabekov A., Madalieva S., Yergazina R. Determining the aerodynamic characteristics of an aircraft in a rarefied gas flow // Dynamical Systems, Modeling, and Mathematical Sciences International Conference. – Dubai, UAE, 2022.